Rozwiązanie:

Zauważamy, że szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) ma wyrazy dodatnie dla \( n \geqslant 1 \). Zastosujemy kryterium ilorazowe i skorzystamy z szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \), dla \( b_n= \ln(1+ \frac{1}{n}) \) badanego w module 1, który również ma wyrazy dodatnie dla \( n \geqslant 1 \). Obliczamy granicę ilorazu

\( \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \frac{1+ \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \ln⁡ (1+ \frac{1}{n})^n = \ln ⁡e = 1 >0 \)
W module Definicja szeregu liczbowego-1 pokazaliśmy, że szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \ln(1+ \frac{1}{n}) \) jest rozbieżny, czyli na podstawie kryterium ilorazowego szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) też jest rozbieżny.

Rozwiązanie:

Zauważamy, że szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}+1}{n^3+n+ \root 3 \of n} \) ma wyrazy dodatnie dla \( n \geqslant 1 \). Do kryterium ilorazowego zastosujemy szereg o wyrazach \( b_n= \frac{1}{n^2 \sqrt{n}} \), który również ma wyrazy dodatnie dla \( n \geqslant 1 \). Obliczamy granicę ilorazu

\( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ \frac{\sqrt{n}+1}{n^3+n+ \root 3 \of n}}{\frac{1}{n^2 \sqrt{n}}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^3+n^2\sqrt{n}}{n^3+n+\root 3 \of n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1+ \frac{1}{\sqrt{n}}}{1+ \frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^{\frac{8}{3}}}} =1>0. \)

Szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 \sqrt{n}} \) jest szeregiem harmonicznym rzędu \( \frac{5}{2} \), czyli jest szeregiem zbieżnym, bo \( \frac{5}{2} >1 \), a zatem szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}+1}{n^3+n+ \root 3 \of n} \) też jest zbieżny.

Rozwiązanie:

Zauważamy, że szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{n} \) ma wyrazy dodatnie, bo \( \frac{1}{n} \in (0, \frac{\pi}{2}) \), dla \( n \geqslant 1 \), a funkcja \( \sin x \) ma w przedziale \( (0, \frac{\pi}{2}) \) wartości dodatnie. W kryterium ilorazowym dobieramy szereg o wyrazach \( b_n= \frac{1}{n} \), które też są dodatnie dla \( n \geqslant 1 \). Obliczamy granicę ilorazu, korzystając ze znanej granicy funkcji \( \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 \)

\( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1>0 \).

Wiemy, że szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) jest rozbieżny, więc szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{n} \) też jest rozbieżny.